集合与映射

集合

一堆元素.

集合的运算

集合与集合运算得到另一个集合.

$$A \oplus B=C$$

目的在于判别参与运算各集合中的元素是否属于运算结果.

算子

$A$,$B$: 任意集合

$U$: 全集

$\varnothing$: 空集

交: 同时属于两个集合的元素.

$$A \cap B = C\newline a \in A \space and \space a \in B \newline \to a \in C$$

差: 只属于算符左侧集合的元素.

$$A - B = C\newline a \in A \space and \space a \notin B\newline \to a \in C$$

对称差: 只属于其中一个集合的元素.

$$A \oplus B = (A - B) + (B - A) = C\newline (a \in A \space and \space a \notin B) \space or \space (a \notin A \space and \space a \in B)\newline \to a \in C$$

并: 属于其中任意一个集合的元素.

$$A \cup B \newline a \in A \space or \space a \in B \newline \to a \in C$$

补: 不属于某个集合的元素.

$$\overline{A} = U - A = C \newline a \notin A \space and \space a \in U \newline \to a \in C$$

等幂律

$$A \cap A = A \newline A \cup A = A$$

交换律

$$A \cap B = B \cap A \newline A \cup B = B \cup A \newline A \oplus B = B \oplus A$$

结合律

$$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C \newline A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C \newline A \oplus (B \oplus C) = (A \oplus B) \oplus C$$

分配律

$$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \newline A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$$

同一律

$$A \cap U = A \newline A \cup \varnothing = A \newline A - \varnothing = A \newline A \oplus \varnothing = A$$

零一律

$$A \cap \varnothing = \varnothing \newline A \cup U = U$$

补余律

$$A \cap \overline{A} = \varnothing \newline A \cup \overline{A} = U$$

吸收律

$$A \cup (A \cap B) = A \newline A \cap (A \cup B) = A$$

De Morgan律

$$A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C) \newline A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C) \newline \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B} \newline \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B} \newline \overline{\varnothing} = U \newline \overline{U} = \varnothing$$

双重否定律

$$\overline{\overline{A}} = A$$

映射

一堆元素与一堆元素的对应关系.

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数列与级数

数列

按顺序排列的一列数, 每项是一个数.

数列的极限

唯一性

若数列存在极限, 则其极限必唯一.

有界性

若数列存在极限, 则该数列必有界.

保号性

设数列$\{a_{n}\}$存在极限$a$, 且$a>0$, 则存在正整数$N$, 当$n>N$时有$a_n>0$.

若数列极限在原点某侧, 则在项数足够大时, 其后所有项的符号均位于极限同侧.

敛散性

数列收敛

必要条件: 有界.

充分条件: 单调有界.

区间套定理

存在区间序列满足每个区间都包含于前一个区间内, 且区间端点之差趋近零, 则存在唯一一点$x_0$包含于该序列所有区间内.

聚点原理

有界数列必存在收敛的子数列.

柯西收敛原理

数列$\{a_n\}$收敛的充要条件为: 对任给$\varepsilon>0$, 存在正整数$N$, 使得对所有满足$m>N, n>N$的$m, n$有$|a_m-a_n|<\varepsilon$.

级数

按顺序排列的一列数, 但每项都是一列数之和.

正项级数

比值判别法

根值判别法

交错级数

正负项交错出现的级数.

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n\newline a_n>0,n\in\Bbb{N}^{+}$$

莱布尼兹判别法

变号级数

符号会发生改变的级数.

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\newline a_n \in \Bbb{R}$$

若其对应的正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_{n}|$通过比值或根值判别法判断发散, 则原级数发散.

若正项级数收敛, 则原级数必收敛.

若正项级数发散而原级数收敛, 则称该变号级数条件收敛. 若正项级数和原级数同时收敛, 则称该变号级数绝对收敛.

性质

可交换性

绝对收敛的级数交换其前后项的位置, 结果仍绝对收敛.

乘法

两个绝对收敛的级数其各项乘积所得级数和$\sum\limits_{i,j=1}^{\infty}a_{i}b_{j}$仍绝对收敛, 且和等于原级数收敛和的乘积.

柯西乘积

在绝对收敛的条件下,有

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n} \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{n} = \sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_{n}b_{1}+a_{n-1}b_{2}+...+a_{1}b_{n})$$

应用:

已知$q<1$时, 几何乘积$\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^{n}$绝对收敛.

则有:

$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^{n} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty}q^{n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)q^{n} \newline \because \sum\limits_{n=0}^{\infty}q^{n} = \frac{1}{1-q} \newline \therefore \frac{1}{(1-q)^{2}} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}(n+1)q^{n}$$

敛散性判别

收敛必要条件: 级数通项极限为零.

一般性流程

1. 判断通项极限是否为零, 若不为零, 级数发散.
2. 判断是否为正项级数, 若为正项级数, 采用比较判别法(不等式与极限形式), 根值判别法, 比值判别法判断敛散性.
3. 判断是否为交错级数$\sum(-1)^{n-1}u_{n}$, 若$u_{n}$单调下降, 则原级数收敛.
4. 利用级数运算性质和其他判别法.

柯西收敛原理

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附录

三角不等式:

$$||a|-|b||\leq|a\pm b|\leq|a|+|b|$$

三角形两边之差小于等于第三边, 两边之和大于等于第三边(等号成立时, 三边共线).